GMAT数学备考指导：一元二次方程.

　　想要迅速提高GMAT数学的考试成绩，考生需要在熟练掌握GMAT数学备考要点的基础上，掌握一些实用的解题技巧，以提高GMAT数学的备考效率。下面就来为大家简单介绍一下GMAT数学考试中的常见考点及解题技巧，希望能够为考生备考GMAT数学带来帮助。

　　一、知识要点：

　　1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。

　　定理1 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，Δ>0方程有两个不等实数根

　　定理2 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根

　　定理3 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，Δ<0方程没有实数根

　　2、根的判别式逆用(注意：根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。

　　定理4 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ>0

　　定理5 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ=0

　　定理6 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ<0

　　注意：(1)再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0

　　二.根的判别式有以下应用：

　　不解一元二次方程，判断根的情况。

　　例1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：

　　(2)ax^2+bx=0(a≠0)

　　解：

　　(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，

　　∵Δ=(-b)2-4·a·

　　∵无论b取任何关数，b2均为非负数，

　　∴Δ≥0，　　故方程有两个实数根。

　　根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。

　　例2.k的何值时?关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根;

　　分析：由判别式定理的逆定理可知(1)Δ>0;(2)Δ=0;(3)Δ<0;

　　解：Δ=(-4)2-4·

　　(1)∵方程有两个不相等的实数根，

　　∴Δ>0，即36-4k>0.解得k<

　　(2)∵[!--empirenews.page--]方程有两个不相等的实数根，

　　∴Δ=0，即36-4k=0.解得

　　(3)∵方程有两个不相等的实数根，

　　∴Δ<0，即36-4k<0.解得

　　证明字母系数方程有实数根或无实数根。

　　例3.求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

　　分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。

　　证明：　　Δ=-4(m2+2)2

　　∵不论m取任何实数

　　∴ -4(m2+2)2<0, 即Δ

　　∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

　　小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：

　　(1)计算Δ

　　(2)用配方法将Δ恒等变形

　　(3)判断Δ的符号

　　(4)结论.其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。

　　应用根的判别式判断三角形的形状。

　　例4.已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2[!--empirenews.page--]ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。

　　(提示：答案为ΔABC为RtΔ)

　　判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式

　　例5、(1)若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是( )

　　(2)若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是()

　　分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即Δ

　　解：(1)

　　∵方程有两个相等的实数根，

　　∴Δ=k2-4×16×

　　∴k=+40或者

　　(2)

　　∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=16-4k=0 ∴

　　可以判断抛物线与直线有无公共点

　　例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x+2m只有一个公共点?

　　解:列方程组消去y并整理得

　　，∵抛物线与直线只有一个交点，

　　∴Δ=0，即　4m+5=0 ∴

　　说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。

　　可以判断抛物线与x轴有几个交点

　　分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 (1)当y=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax[!--empirenews.page--]2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：

　　当时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1，0)(x2，0)。

　　当时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是()。

　　当 时，抛物线与x轴没有交点。

　　例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数：

　　(1)　　　(2) 　　　(3)

　　解：(1)Δ=16-12=4>0 ∴抛物线与x轴有两个交点。

　　(2)Δ=36-36=0 ∴抛物线与x轴只有一个公共点。

　　(3)Δ=4-16=-12<0 ∴抛物线与x轴无公共点。

　　例8、已知抛物线

　　(1)当m取什么值时，抛物线和x轴有两个公共点?

　　(2)当m取什么值时，抛物线和x轴只有一个公共点?并求出这个公共点的坐标。

　　(3)当[!--empirenews.page--]m取什么值时，抛物线和x轴没有公共点?

　　解：令y=0，则　　　Δ=

　　(1)∵抛物线与x轴有两个公共点，　∴Δ>0，即 – 4m+8>0 ∴

　　(2)∵抛物线和x轴只有一个公共点，　∴Δ=0，即 –4m+8=0 ∴

　　当m=2时，方程可化为，解得x1=x2= -1，∴抛物线与x轴公共点坐标为(-1,0)。

　　(3)∵抛物线与x轴没有公共点，　∴Δ<0，即　-4m+8<0，　∴

　　∴当m>2时，抛物线与x轴没有公共点。

　　利用根的判别式解有关抛物线(Δ>0)与x轴两交点间的距离的问题

　　分析:抛物线 (Δ>0)与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程 [!--empirenews.page--]的两根差的绝对值。它有以下表示方法：

　　例9: 求当a为何值时?二次函数 图象与x轴的两个交点间的距离是3。

　　(参考：图象与x轴两个交点间的距离是3)

　　以上对GMAT数学考试中的常见考点及解题技巧进行了简单的阐述，考生可以适当借鉴，并结合以上内容不断归纳和总结GMAT数学的备考方法，从而迅速提升GMAT数学考试成绩。相关链接：

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